PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Hai sob, selamat datang dan selamat belajar. Kali ini penuis akan memaparkan sedikit materi mengenai nilai mutlak. Yuk langsung saja kita simak materinya
Pengertian
Nilai Mutlak adalah nilai yang selalau bernilai positif
Sifat- Sifat Nilai Mutlak
1. $\left | xy \right |=\left | x \right |\left | y \right |$
2. $\left | \frac{x}{y} \right |=\frac{\left | x \right |}{\left | y \right |}$
3. $\left | {x} \right |\leq a$ maka $-a\leq {x} \leq a$
4. $\left | x \right |\geq a$ maka   $x\leq -a$ atau $x\geq a$
5. $\left | x \right |\leq \left | y \right |$ maka $x^{2}\leq y^{2}$
6.    $\left | x+y \right |\leq \left | x \right |+\left | y \right |$
7.    $\left | x-y \right |\geq \left | x \right |-\left | y \right |$

Penerapan Nilai Mutlak
Diketahui :

1.
Seorang anak bermain lompat lomapatan di halaman rumahnya. Ia melompat ke depan 3 langkah, melompat lagi ke belakang 4 langkah, melompat ke depan lagi 5 langkah, setelah itu melompat ke belakang 2 langkah, dan akhirnya ia melompat lagi kebelakang 1 langkah. Tentukan berapa langkah anak tersbut melompat !

Pembahasan
kita simbolkan terlebih dahulu
(+) kedepan
(-) kebelakang
Banykanya langkah anak tersebut seperti berikut
$\left | 3 \right |+\left | -4 \right |+\left | 5 \right |+\left | -2 \right |+\left | -1 \right |$ cara menghitungnya karen nilai mutlak maka harus dirubah telebih dahulu
3 + 4 + 5 + 2 + 1 = 15 langkah

Contoh Soal dan Pembahasan
1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan   $\left | x-8 \right |= 5$
Jawab
$\left | x-8 \right |= 5$
$x-8 = 5$
$x = 5+8$
$x = 13$

atau

$\left | x-8 \right |= 5$
$-(x-8)=5$
$x-8=-5$
$x=-5+8$
$x=3$

Jadi himpunan Penyelesaianya   $\left \{ 3,13 \right \}$

2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2\left | 2x-4 \right |-6= -2$
Jawab
Ketika kita menemukan soal seperti diatas yang bentuknya cukup panjang, maka soal tersebut harus dirubah terlebh dahulu kedalam bentuk yang lebih sederhana.
$2\left | 2x-4 \right |-6= -2$
$2\left | 2x-4 \right |= -2+6$
$2\left | 2x-4 \right |= 4$
setelah seperti ini maka

3.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan   $\left | x^{2}+x-1 \right |\leq 1$
Jawab
$\left | x^{2}+x-1 \right |\leq 1$ diartikan   $-1\leq x^{2}+x-1 \leq 1$
Bentuk ke 1
$-1\leq x^{2}+x-1$
di rubah terlebih dahulu menjadi
$x^{2}+x-1 \geq -1$
$x^{2}+x\geq -1+1$
$x^{2}+x\geq 0$
$x(x+1)\geq 0$
$x\geq 0$ atau $x+1 \geq 0$
$x\geq 0$ atau $x\leq -1$

Bentuk ke 2

$x^{2}+x-1\leq 1$
$x^{2}+x-2\leq 0$
$(x+2)(x-1)\leq 0$
$x+2\leq 0$ atau $x-1\leq 0$
$x\geq -2$ atau   $x\leq 1$
bisa ditulis seperti ini
$-2\leq x\leq 1$

4.
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan $2< \left | 2-\frac{1}{2}x \right |\leq 3$
Jawab
Bentuk ke 1
$\left | 2-\frac{1}{2}x \right |\leq 3$

ketika dikalikan negatif maka tanda pertidaksamannya berubah
$10\geq x \geq -2$ bisa juga di tulis dengan $-2\leq x\leq 10$ ....(1)

Bentuk ke 2
$\left | 2-\frac{1}{2}x \right |> 2$
$2-\frac{1}{2}x < -2$

atau
$2-\frac{1}{2}x > 2$

Latihan Soal 1
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari   $\left | x+6 \right | = 3$
2.  Tentukan himpunan penyelesaian dari   $\left | 2x-6 \right | = -2$
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari   $\left | x+1 \right |+2x = 7$
4.  Tentukan himpunan penyelesaian dari   $\left | 2x+8 \right |= 4$

Pertidaksamaan Nilai Mutlak
1. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak $\left | 3-2x \right |< 4$
Penyelesaian
$\left | 3-2x \right |< 4$
$-4 < 3-2x < 4$
$-4-3 < -2x < 4-3$
$-7 < -2x < 1$
$\frac{-7}{-2} < x < -\frac{1}{2}$
$\frac{7}{2} < x < -\frac{1}{2}$

2. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak $\left | \frac{1}{2}x+6 \right |\geq 9$
Penyelesaian pertama $\left | \frac{1}{2}x+6 \right |\geq 9$

$\left | \frac{1}{2}x+6 \right |\geq 9$