LIMIT FUNGSI

Limit digunakan untuk menyatakan batas. Maksudnya kita boleh mendekati batas tersebut, tetapi kita tidak boleh mencapai batas tersebut. Contohnya kendaraan tidak bisa digunakan ketika bahan bakarnya habis, tetapi kita dapat menggunakan kendaraan tersebut ketika bahan bahan bakarnya hampir habis.

Yuuk simak pembahasan lengkapnya mengenai limit guys...

Limit Fungsi

Pengertian

Jika suatu fungsi f mempunyai limit kiri dan limit kanan yang sama, yaitu L untuk x mebdekati a maka dikatakan L adalah limit fungsi f untuk x mendekati a. Pernyataan tersebut ditulis dengan notasi

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$

Sifat-sifat Limit Fungsi
Untuk menyelesaikan limit dari suatu fungsi, perhatikan sifat-sifatnya berikut ini.

$1).\lim_{x\rightarrow a}c = c$

$2).\lim_{x\rightarrow a}x = a$

$3).\lim_{x\rightarrow a}\textup{cf x} = c\lim_{x\rightarrow a}\textup{f x}$

$4).\lim_{x\rightarrow a}\textup{f x + g x} = \lim_{x\rightarrow a}\textup{f x} + \lim_{x\rightarrow a}\textup{g x}$

$5).\lim_{x\rightarrow a}\textup{f x - g x} = \lim_{x\rightarrow a}\textup{f x} - \lim_{x\rightarrow a}\textup{g x}$

$6).\lim_{x\rightarrow a}\textup{f x . g x} = \lim_{x\rightarrow a}\textup{f x} . \lim_{x\rightarrow a}\textup{g x}$

$7).\lim_{x\rightarrow a}\frac{f x}{g x}= \frac{\lim_{x\rightarrow a}\textup{f x}}{\lim_{x\rightarrow a}\textup{g x}}$

$8).\lim_{x\rightarrow a}\left [\textup{f x } \right ]^{n}=\left [ \lim_{x\rightarrow a} \textup{f x}\right ]^{n}$

$9).\lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{\textup{f x}}= \sqrt[n]{\lim_{x\rightarrow a}\textup{f x}}$

Contoh:
Berikut ini adalah contoh penggunaan sifat-sifat limit.
1. Tentukan Nilai dari !
   $\lim_{x\rightarrow 3}7=7$
2. Tentukan Nilai dari !
$\lim_{x\rightarrow 3}x^4=3^4=3\times 3\times 3\times 3=81$
Latihan
$1. \lim_{x\rightarrow -3}2x^{2} =$

$2. \lim_{x\rightarrow -2}-3x^{2} =$

$3. \lim_{x\rightarrow -2}-2x^{2}+2 =$

$4. \lim_{x\rightarrow -4}-x^{2}-3x =$

$5. \lim_{x\rightarrow -4}-x^{2}-3x +5 =$

3. $\lim_{x\rightarrow 3}3x^2=...$
     Jawab: $\lim_{x\rightarrow 3}3x^2=3\lim_{x\rightarrow 3}x^2$
                                  $=3\times 3^2=3\times 3\times 3=27$
4. $\lim_{x\rightarrow 2}(x^3+2x)=...$
     Jawab: $\lim_{x\rightarrow 2}(x^3+2x)=\lim_{x\rightarrow 2}x^3+\lim_{x\rightarrow 2}2x$

                                             $=2^3+2\lim_{x\rightarrow 2}x$
                                             $=8+2\times 2=8+4=12$
5. $\lim_{x\rightarrow 1}(5x+2)(4x-1)=...$
   Jawab: $\lim_{x\rightarrow 1}(5x+2)(4x-1)=\lim_{x\rightarrow 1}(5x+2)\times \lim_{x\rightarrow 1}(4x-1)$
                                                          $=(5(1)+2)\times (4(1)-1)$
   $=7\times 3=21$
Latihan
Tentukan nilai dari !
$1. \lim_{x\rightarrow -2}x^{2}-3x -6 =$

$2. \lim_{x\rightarrow -2}(2x-3)(x+3) =$

$3. \lim_{x\rightarrow -2}(x+3)(-x+2) =$

$4. \lim_{x\rightarrow -7}(x+5)(-x-3) =$

$5. \lim_{x\rightarrow -3}(x^{2}+5)(-x-5) =$

6. $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{x^2-1}=...$
   Jawab:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{x^2-1}=\frac{\lim_{x\rightarrow 0}x}{\lim_{x\rightarrow 0}x^2-1}$
                          $=\frac{0}{0-1}=\frac{0}{-1}=0$
7. $\lim_{x\rightarrow 2}(x+1)^3=...$
     Jawab:
   $\lim_{x\rightarrow 2}(x+1)^3=(\lim_{x\rightarrow 2}(x+1))^3$
                            $=(2+1)^3=3^3=27$
Latihan
Tentukan nilai dari !
$a. \lim_{x\rightarrow 4}(x+4)^{3} =$

$b. \lim_{x\rightarrow 4}(3x+2)^{2} =$

$c. \lim_{x\rightarrow -2}(7-3x)^{2} =$

$d. \lim_{x\rightarrow -2}(7-2x-x)^{2} =$

$e. \lim_{x\rightarrow -1}(3-x)^{2} =$

8. $\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt[3]{x^2+4}=...$
     Jawab:
     $\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt[3]{x^2+4}=\sqrt[3]{\lim_{x\rightarrow 2}(x^2+4)}$
                             $=\sqrt[3]{2^2+4}$
                   $=\sqrt[3]{8}=2$
Latihan
Tentukanlah nilai dari !
$a. \lim_{x\rightarrow 2}\sqrt[2]{x^2+5}=...$

$b. \lim_{x\rightarrow 3}\sqrt[2]{x^2+7}=...$

$c. \lim_{x\rightarrow 4}\sqrt[2]{2x^2+17}=...$

$d. \lim_{x\rightarrow 3}\sqrt[2]{2x^2+7}=...$

$e. \lim_{x\rightarrow 5}\sqrt[2]{x^2-9}=...$

Menentukan Limit Fungsi Aljabar
Perhitungan limit dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu sebagai berikut.
a. Substitusi Langsung
Contoh 1:
Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow 2}2x+6$ .
Jawab:
   $\lim_{x\rightarrow 2}2x+6=2(2)+6$
                          $=4+6=10$
    Contoh 2:
$\lim_{x\rightarrow 2}x^2+2x-3=...$
    Jawab:
   $\lim_{x\rightarrow 2}x^2+2x-3=(2)^2+2(2)-3$

                                     $=4+4-3=5$

b. Memfaktorkan
Cara ini digunakan apabila dengan cara substitusi langsung pada bentuk $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ diperoleh nilai $\frac{0}{0}$ .
     Contoh 1:
Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1}{x-1}$ .
     Jawab:
   $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$ yang sama-sama (x-1) habis dibagi
   $=\lim_{x\rightarrow 1}(x+1)$
                           $=1+1=2$
      Contoh 2:
      $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-x-6}{x-3}=...$
      Jawab:
$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-x-6}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x+2)(x-3)}{x-3}$ yang sama-sama (x-3) habis dibagi
                                    $=\lim_{x\rightarrow 3}(x+2)$
                                    $=3+2=5$

Menggunakan Cara Turunan
$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-x-6}{x-3}= \lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x-1}{1}= 2(3)-1 = 5$

CATATAN
Bisa dilihat cara memfaktorkan dengan cara turunan hasilnya sama, nah tinggal kalian pilih saja cara yang lebih mudah kalian pahami

Latihan
Tentukanlah nilai dari !
$1. \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}-9}{x^{2}-x-6} =$

$2. \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-9}{x^{2}+x-6} =$

$3. \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-1}{x-1} =$

$4. \lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x^{2}+x-15}{x^{2}+7x+12} =$

$5. \lim_{x\rightarrow 2}\frac{3x^{2}-14x+8}{x^{2}-3x-4} =$

$6. \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}+2x-8} =$

$7. \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x^{2}+3x-10} =$

$8. \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+x}{4x} =$

$9. \lim_{x\rightarrow -3}\frac{x^{2}+2x-3}{x-1} =$

$10. \lim_{x\rightarrow -2}\frac{x^{2}-x-6}{x^{2}-3} =$

c. Merasionalkan Penyebut
    Contoh 1:
    Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow 4}\frac{2}{\sqrt{x}-1}$
     Jawab:
   $\lim_{x\rightarrow 4}\frac{2}{\sqrt{x}-1}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{2}{\sqrt{x}-1}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}$
                             $=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{2(\sqrt{x}+1)}{x-1}$
                             $=\frac{2(\sqrt{4}+1)}{4-1}$
                             $=\frac{2(2+1)}{3}=\frac{2(3)}{3}=2$ angka 3 habis dibagi dengan angka 3
Contoh 2:
Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x+3}{\sqrt{x+3}}$ .
   Jawab:

     $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x+3}{\sqrt{x+3}}.\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+3}}$

     $=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x+3)(\sqrt{x+3})}{x+3}$ (x+3) habis dibagi

    $=\lim_{x\rightarrow 3}\sqrt{x+3}$

    $=\sqrt{3+3}=\sqrt{6}$

d. Membagi dengan Pangkat Tertinggi
Cara ini digunakan apabila dengan cara substitusi langsung pada bentuk   Cara ini digunakan apabila dengan cara substitusi langsung pada bentuk $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ diperoleh bentuk tak tentu $\frac{\infty }{\infty }$ .
   Contoh 1:
   Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{3x^2+x}{4x^3-2x}$ .
   Jawab:
   Karena pangkat terbesarnya adalah pangkat tiga, maka tiap pembilang dan penyebut dibagi dengan pangkat tertingginya.
$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{3x^2+x}{4x^3-2x}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{3x^2+x}{x^3}}{\frac{4x^3-2x}{x^3}}$

                            $=\frac{0}{4}=0$
     Contoh 2:
   Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2x^2-x-5}{4x^2-1}$
     Jawab:
   Karena pangkat terbesarnya adalah pangkat dua, maka tiap pembilang dan penyebut dibagi dengan pangkat tertingginya.

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2x^2-x-5}{4x^2-1}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{2x^2-x-5}{x^2}}{\frac{4x^2-1}{x^2}}$

                                 $=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
Sekian dulu ulasan materi limit fungsi, nanti akan dilanjutkan lagi dengan limit trigonometri yaa teman-teman. Semoga bermanfaat untuk teman-teman semua...
Di bawah ini kami menyediakan beberapa soal dan pembahasannya nih guys...

Soal dan Pembahasan
1. $\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^3+8}{2x}=...$
    Pembahasan
   $\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^3+8}{2x}=\frac{4^3+8}{2.4}$

                          $=\frac{64+8}{8}=\frac{72}{8}=9$
2. $\lim_{x\rightarrow 6}\sqrt[3]{7x^2-6x}=...$
    Pembahasan
   $\lim_{x\rightarrow 6}\sqrt[3]{7x^2-6x}=\sqrt[3]{\lim_{x\rightarrow 6}(7x^2-6x)}$

                                $=\sqrt[3]{(7.6^2-6.6)}$
                                $=\sqrt[3]{(7.36-36)}$
                                $=\sqrt[3]{(252-36)}=\sqrt[3]{216}=6$
3. $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2+3x-18}{x^2-3x}=...$
Pembahasan
    $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2+3x-18}{x^2-3x}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x+6)(x-3)}{x(x-3)}$ (x-3) habis dibagi
                                      $=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x+6}{x}$
                                      $=\frac{3+6}{3}=\frac{9}{3}=3$
4. $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-2x^2}{x^2-5x+6}=...$
Pembahasan
$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-2x^2}{x^2-5x+6}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2(x-2)}{(x-2)(x-3)}$ (x-2) habis dibagi
                                $=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2}{(x-3)}$

                               $=\frac{2^2}{(2-3)}=\frac{4}{-1}=-4$
5. $\lim_{x\rightarrow 4}\frac{4-x}{2-\sqrt{x}}=...$
Pembahasan
$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{4-x}{2-\sqrt{x}}\times \frac{2+\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}$
$=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(4-x)(2+\sqrt{x})}{4-x}$ (4-x) habis dibagi
$=\lim_{x\rightarrow 4}2+\sqrt{x}$
$=2+\sqrt{4}=2+2=4$

Pages

LIMIT FUNGSI

No comments:

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2