TRIGONOMETRI

Selamat datang teman-teman di blog KingMath, semoga yang kami paparkan ini bermanfaat...

Kali ini kami akan membahas trigonometri, kalian tahu tidak guys? mempelajari trigonometri itu dapat mengukur luas dan keliling tanah, menghitung ketinggian dari suatu objek (seperti gunung, pohon, tiang bendera, menara, dsb), mengukur kemiringan jalan dan masih banyak lagi...

Untuk itu simak penjelasannya yaa

Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Sudut
1. Rumus untuk sin $(\alpha \pm \beta )$

$sin(\alpha +\beta )=sin\alpha .\cos\beta +cos\alpha .sin\beta$

$sin(\alpha -\beta )=sin\alpha .\cos\beta -cos\alpha .sin\beta$

Contoh 1:

   Hitunglah sin $75^o$
   Jawab:
   $sin75^o=sin(45^o+30^o)$
                 $=sin45^o.cos30^o+cos45^o.sin30^o)$

               $=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}$

                 $=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}$
     Contoh 2:
   Buktikan sin $(90^o-\alpha )=cos\alpha$
     Jawab:
   $sin(90^o-\alpha )=sin90^o .cos\alpha -cos90^o.sin\alpha$
       $=1 .cos\alpha -0.sin\alpha$
   $=cos\alpha$                                    Terbukti

2. Rumus untuk cos $(\alpha \pm \beta )$

$cos(\alpha +\beta )=cos\alpha. cos\beta -sin\alpha .sin\beta$

$cos(\alpha -\beta )=cos\alpha. cos\beta +sin\alpha .sin\beta$

Contoh 1:

     Hitunglah cos $15^o$
   Jawab:
   $cos15^o=cos(45^o-30^o)$
   $=cos45^o.cos30^o+sin45^o.sin30^o$
                   $=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}$

                  $=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}$
     Contoh 2:
   Buktikan cos $(90^o+\alpha )=-sin\alpha$
     Jawab:
   $cos(90^o+\alpha )=cos90^o.cos\alpha -sin90^o.sin\alpha$

                               $=0.cos\alpha -1.sin\alpha$

                              $=-sin\alpha$

3. Rumus untuk tan $(\alpha \pm \beta )$

$tan(\alpha +\beta )=\frac{tan\alpha +tan\beta }{1-tan\alpha .tan\beta }$

$tan(\alpha -\beta )=\frac{tan\alpha -tan\beta }{1+tan\alpha .tan\beta }$

     Contoh 1:
   Hitunglah tan $75^o$
     Jawab:
   $tan75^o=tan(45^o+30^o)$

                  $=\frac{tan45^o+tan30^o}{1-tan45^o.tan30^o}$

                   $=\frac{1+\frac{1}{3}\sqrt{3}}{1-1.\frac{1}{3}\sqrt{3}}$

                   $=\frac{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}$
                   $=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$
                   $=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\times \frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$

                   $=\frac{9+6\sqrt{3}+3}{9-3}$
                   $=\frac{12+6\sqrt{3}}{6}=2+\sqrt{3}$
     Contoh 2:
     Hitunglah tan $15^o$
     Jawab:
$tan15^o=tan(45^o-30^o)$

              $=\frac{tan45^o-tan30^o}{1+tan45^o.tan30^o}$
              $=\frac{1-\frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+1.\frac{1}{3}\sqrt{3}}$
             $=\frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}$

             $=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$

               $=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\times \frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$

               $=\frac{9-6\sqrt{3}+3}{9-3}$

               $=\frac{6-6\sqrt{3}}{6}=1+\sqrt{3}$

Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda
1. Rumus untuk sin $2\alpha$ , cos $2\alpha$ , dan tan $2\alpha$
    Jika $\alpha$ adalah sudut tunggal maka $2\alpha$ adalah sudut ganda dan berlaku rumus trigonometri sebagai berikut.

$sin 2\alpha =2.sin\alpha .cos\alpha$

$cos 2\alpha =cos2\alpha-sin2\alpha$ atau

$cos 2\alpha =1-2.sin^2\alpha$ atau

$cos 2\alpha =2.cos^2\alpha -1$

$tan2\alpha =\frac{2.tan\alpha }{1-tan^2\alpha }$

Contoh:

Perhatikan gambar berikut.

Dari gambar tersebut, tentukan:

a. Sin $2\alpha$

b. Cos $2\alpha$

c. Tan $2\alpha$

   Jawab:
   $mi=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$
     karena $tan\alpha =\frac{8}{15}$ maka $sin\alpha =\frac{8}{17}$ dan $cos\alpha =\frac{15}{17}$
   a. $sin 2\alpha =2.sin\alpha .cos\alpha$
                       $=2.\frac{8}{17}.\frac{15}{17}=\frac{240}{289}$
     b. $cos 2\alpha =1-2.sin^2\alpha$

                    $=1-2.(\frac{8}{17})^2$
                     $=1-\frac{32}{289}=\frac{289}{289}-\frac{32}{289}=\frac{257}{289}$
     c. $tan2\alpha =\frac{2.tan\alpha }{1-tan^2\alpha }$
                      $=\frac{2.\frac{8}{15}}{1-(\frac{8}{15})^2}$
                     $=\frac{\frac{16}{15}}{1-\frac{64}{225}}=\frac{\frac{16}{15}}{\frac{225}{225}-\frac{64}{225}}$

                     $=\frac{\frac{16}{15}}{\frac{161}{225}}=\frac{16}{15}\times \frac{225}{161}=\frac{240}{161}$

2. Rumus untuk sin $\frac{1}{2}\alpha$ , cos $\frac{1}{2}\alpha$ , dan tan $\frac{1}{2}\alpha$
    Jika $\alpha$ adalah sudut tunggal maka tan $\frac{1}{2}\alpha$ adalah setengah dari sudut $\alpha$ dan berlaku rumus trigonometri berikut.

    Contoh:
    $sin22\frac{1}{2}^o=...$
     Jawab:
$sin22\frac{1}{2}^o=sin\frac{1}{2}(45^o)$
   $=\sqrt{\frac{1-cos45^o}{2}}$
                      $=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}}{2}}$
                      $=\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\sqrt{2}}$
                     $=\sqrt{\frac{1}{4}(2-\sqrt{2})}$
                     $=\frac{1}{4}\sqrt{2-\sqrt{2}}$

Sekian dulu teman-teman materi mengenai trigonometri, semoga bermanfaat.. oh yaa, nih ada beberapa soal dan pembahasan.. simak yuu..

Soal dan Pembahasan
1. Hitunglah nilai cos $105^o$
    Pembahasan
$cos105^o=cos(60^o+45^o)$

                    $=cos60^o.cos45^o-sin60^o.sin45^o$

                    $=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}.\frac{1}{2}\sqrt{2}$

                    $=\frac{1}{4}\sqrt{2}-\frac{1}{4}\sqrt{6}=\frac{1}{4}\sqrt{2}(1-\sqrt{3})$
2. $sin22^o.cos8^o+cos22^o.sin8^o=...$
    Pembahasan
    $sin22^o.cos8^o+cos22^o.sin8^o=sin(22^o+8^o)$
                                                           $=sin30^o=\frac{1}{2}$
3. Jika tan x = - 3/4, $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$ , maka sin $(\frac{\pi }{3}-x)$ adalah...
Pembahasan
    tan x = - 3/4, $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$ berada di kuadran IV
   $sin(\frac{\pi }{3}-x)=sin\frac{\pi }{3}.cosx-cos\frac{\pi }{3}.sinx$

                           $=\frac{1}{2}\sqrt{3}.\frac{4}{5}-\frac{1}{2}.-\frac{3}{5}$

                           $=\frac{2}{5}\sqrt{3}+\frac{3}{10}$
4. Jika $A+B=\frac{\pi }{3}$ dan $cosA.cosB=\frac{5}{8}$ , maka cos (A-B) = ...
Pembahasan
     $cos(A+B)=cos\frac{\pi }{3}$
    $cosA.cosB-sinA.sinB=\frac{1}{2}$
                     $\frac{5}{8}-sinA.sinB=\frac{1}{2}$

                            $sinA.sinB=\frac{5}{8}-\frac{1}{2}$

                            $sinA.sinB=\frac{1}{8}$
   Jadi, $cos(A-B)=cosA.cosB+sinA.sinB$

                                    $=\frac{5}{8}+\frac{1}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
5. Diketahui nilai $sin\alpha .cos\beta=\frac{1}{5}$ dan $sin(\alpha-\beta)=\frac{3}{5}$ untuk $0^o\leq \alpha \leq 180^o$ dan $0^o\leq \beta \leq 90^o$ . Nilai $sin(\alpha +\beta )=...$
    Pembahasan
$sin(\alpha-\beta)=\frac{3}{5}$
    $sin\alpha .cos\beta -cos\alpha .sin\beta =\frac{3}{5}$
$\frac{1}{5}-cos\alpha .sin\beta =\frac{3}{5}$

   $cos\alpha .sin\beta =\frac{1}{5}-\frac{3}{5}$

                          $cos\alpha .sin\beta =-\frac{2}{5}$
    Jadi, $sin(\alpha +\beta )=sin\alpha. cos\beta +cos\alpha .sin\beta$
                                   $=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=-\frac{1}{5}$

Pages

TRIGONOMETRI

No comments:

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2