Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Simak materi berikut dengan seksama yah

Menyusun dan Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang menyatu dengan fakta dan lingkungan budaya kita terkait dengan sistem persamaan linear. Permasalahan-permasalahan tersebut akan menjadi bahan inspirasi menyusun model-model matematika yang ditemukan dari proses penyelesaiannya. Model matematika tersebut akan dijadikan bahan abstraksiuntuk membangun konsep sistem persamaan linear dan konsep sistem persamaan linear tiga variabel.

Contoh permasalahan dalam menemukan konsep sistem persamaan linear tiga variabel

Pa Budi memiliki dua hektar sawah yang di tanami padi dan sudah saatnya diberi pupuk. Ada tiga jenis pupuk yang harus diseerturut turdiakan, yaitu urea, SS, TSP. Harga tiap tiap karung pupuk berturut-turut adalah Rp 75.000,00 , Rp 120.000,00 dan Rp 150.000,00. Pak Budi membutuhkan sebanyak 40 karung untuk sawah yang ditanami padi.

Pemakaian pupuk urea dua kali banykanya dari pupuk SS. Sementara dana yang disediakan Pak Budi untuk membeli pupuk adalah Rp 4.020.000,00. Berapa karung untuk setiap jenis pupuk yang harus dibeli Pak Budi ?

Alternatif Penyelesaian

Diketahui

💢 Tiga jenis pupuk yaitu urea, SS, TSP. Harga perkarung tiap jenis pupuk adalah Rp75.000,00, Rp120.000,00 dan Rp150.000,00

💢 Banyaknya pupuk yang dibutuhkan 40 karung

💢 Pemakaian pupuk urea dua kali lebih banyak dari pupuk SS.

💢 dan yang tersedia Rp4.020.000,00.

Ditanyakan

Banyaknya pupuk (karung ) yang diperlukan untuk tiap jenis pupuk.

Misalkan

x adalah banyak jenis pupuk urea

y adalah banyak jenis pupuk SS

z adalah banyak jenis pupuk TSP

Berdasarkan infomasi diatas, diperoleh hubungan-hubungan berikut
$x+y+z =40$ .................................................. (1)
$x=2y$ ................................................................ (2)
$75000x+120000y+150000z=4020000$ ......(3)

Langkah I

Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1)
$x=2y$ dan $x+y+z =40$ $\Rightarrow 2y+y+z=40$
$\Rightarrow 3y+z=40$ ........ (4)

Langkah 2

Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (3)
$x=2y$ dan $75x+120y+150z=4020$ $\Rightarrow 75(2y)+120y+150z=4020$
$\Rightarrow 270y+150z=4020$ .................. (5)

Gunakan metode eliminasi terhadap persamaan (4) dan persamaan (5)

$\left.\begin{matrix} 3y+z=40\\ 27y+15z=402 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} \times 15\\ \times 1 \end{matrix}\right|$ $\Rightarrow \underline{\begin{matrix} 45y+15z=600\\ 27y+15z=402 \end{matrix}-}$

$18y=198\rightarrow y=11$

dan diperoleh $x=2y=2(11)=22$

maka $x+y+z =40$
$22+11+z=40$

$z=40-37=7$

Jadi, banyaknya pupuk yang diperlukan pa Budi sebanyak 22 karung pupuk urea, 11 karung pupuk SS, dan 7 karung pupuk TPS.

Contoh Permasalahan ke 2

Nenek moyang kita memiliki keahlian seni ukir (seni pahat). Mereka dapat membuat berbagai jenis patung dan ornamen-ornamen yang memiliki nilai estetika yang cukup tinggi. Pak Wayan memiliki keterampilan memahat patung yang diwarisi dari kakeknya. Ia selalu bekerja dengan dibantu dua anaknya, yaitu I Gede dan Putu yang sedang duduk di bangku sekolah SMK jurusan Teknik Bangunan. Berbagai hasil ukirannya dapat dilihat dan dibeli di daerah wisata terutama di daerah wisata Bali.

Suatu ketika Pak Wayan mendapat pesanan untuk membuat 3 ukiran patung dan 1 ornamen rumah dari seorang turis asal Belanda dengan batas waktu pembuatan diberikan selama 5 hari. Pak Wayan dan Putu dapat menyelesaikan pesanan diatas dalam waktu 7 hari. jika Pak Wayan bekerja bersama I Gede, mereka dapat menyelesaikan pesanan Dalam waktu 6 hari.

Karena Putu dan I Gede bekerja setelah pulang sekolah, mereka berdua membutuhkan waktu 8 hari untuk menyelesaikan pesanan ukiran tersebut. Dapatkah pesanan ukiran diselesaikan, jika Pak Wayan dibantu kedua anaknya dengan batas waktu yang diberikan?

Alternatif Penyelesaian

Diketahui

-Pesanan pembuatan ukiran patung dan ornamen rumah dengan batas waktu 5 hari.

-Waktu yang dibutuhkan membuat patung dan ornamen adalah

Pak Wayan dan Putu selama 7 hari

Pak Wayan dan I Gede selama 6 hari

Putu dan I Gede selama 8 hari

Misalkan

waktu yang dibutuhkan pak Wayan adalah x

waktu yang dibutuhkan Putu adalah y

waktu yang di butuhkan I Gede adalah z

berarti waktu yang diperlukan pak Wayan, Putuh, dan I Gede untuk menyelesaikan satu set pesanan masing-masing adalah $\frac{1}{x}$ , $\frac{1}{y}$ , dan $\frac{1}{z}$ .

💢 Pak Wayan dan Putu membutuhkan waktu 7 hari , sehingga

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{7}$ ............. (1)

💢 Pak Wayan dan I Gede membutuhkan waktu 6 hari, sehingga

$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{6}$ ............. (2)

💢 Putu dan I Gede membutuhkan waktu 8 hari, sehingga

$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{8}$ ................ (3)

💢 Kemudian carilah tiga persamaan linear yang saling terkait dari persamaan diatas dengan memisalkan $p=\frac{1}{x},q=\frac{1}{y},r=\frac{1}{z}$ .

💢 Carilah nilai p,q dan r dengan menggunakan metode eliminasi, subtitusi atau campuran keduanya.

dengan menerapkan metode eliminasi pada persamaan 1 dan 2 diperoleh

$\left.\begin{matrix} 7p+7q=1\\ 6p+6r=1 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} \times 6\\ \times 7 \end{matrix}\right|\Rightarrow \underline{\begin{matrix} 42p+42q=6\\ 42p+42r=7 \end{matrix}}-$
$42q-42r=-1$ ....... (4)

dengan menerapkan metode eliminasi pada persamaan 3 dan 4 diperoleh $\left.\begin{matrix} 8q+8r=1\\42q-42r=-1 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} \times 42\\ \times 8 \end{matrix}\right|\Rightarrow \underline{\begin{matrix} 336q+336r=42\\ 336q-336r=-8 \end{matrix}}-$

$672r=50\rightarrow r=\frac{50}{672}$

Nilai r disubtitusikan ke persamaan $8q+8r=1$ , sehingga

$8q+\left ( 8\times \frac{50}{72} \right )=1$

$8q+\frac{400}{672}=1$

$8q=1-\frac{400}{672}$

$8q=\frac{672}{672}-\frac{400}{672}$

$8q=\frac{272}{672}\rightarrow q=\frac{272}{672}\times \frac{1}{8}=\frac{34}{672}$

Nilai q disubstitusikan ke persamaan $7p+7q=1$ , diperoleh

$7p\left ( 7\times \frac{34}{672} \right )=7p+\frac{238}{672}=1$

$p=\left ( 1-\frac{238}{672} \right ):7$

$p=\frac{434}{672}\times \frac{1}{7}=\frac{62}{672}$

Sebelumnya telah dimisalkan bahwa

$p=\frac{62}{672}\Rightarrow x=\frac{672}{62}=10,84$

$q=\frac{34}{672}\Rightarrow y=\frac{672}{34}=19,76$

$r=\frac{50}{672}\Rightarrow z=\frac{672}{50}=13,44$

Karena x, y, dan z berturut-turut menyatakan waktu yang dibutuhkan Pak Wayan, Putu dan I Gede untuk menyelesaikan 1 set pesanan ukiran. Jika bekerja individu, maka Pak Wayan dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 10,84 hari, Putu dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 19,76 hari, dan I Gede dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 13,44 hari. Jadi, waktu yang diperlukan Pak Wayan dan kedua anaknya untuk menyelesaikan 1 set pesanan ukiran patung dan ornamen, jika mereka bekerja secara bersama-sama adalah

$t=\frac{1}{\left ( \frac{62}{672}+\frac{34}{672}+\frac{50}{672} \right )}$

$t=\frac{672}{146}=4,6$

Waktu yang diberikan turis adalah 5 hari. Setelah dihitung, waktu yang diperlukan Pak Wayan dan kedua anaknya adalah 4,6 hari jadi pesanan tersebut dapat dipenuhi.

Berdasarkan kedua contoh di atas, sistem persamaan tiga variabel dapat disimbolkan dengan tiga jenis variabel berbeda yang dapat diselesaikan dengan metode eliminasi, substitusi atau campuran keduanya.

Baca juga : Sistem persamaan linear dua variabel

Adapun contoh lainnya dapat kalian simak berikut.

Metode eliminasi adalah suatu cara untuk mendapat penyelesaian dari sistem persamaan tiga variabel dengan cara menghilangkan/ menghapus salah satu variabel.

Adapun langkah-langkah yang dilakukan pada metode eliminasi adalah sebagai berikut.
Diketahui $\left\{\begin{matrix} 2x-y+z=6\\ x-3y+z=-2 \\ x+2y-z=3 \end{matrix}\right.$ . Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi!
Langkah 1:
Pilih bentuk peubah (variabel) yang paling sederhana, yaitu variabel z (karena koefisien variabel z adalah 1)
Langkah 2:
Eliminasi atau hilangkan salah satu peubah (misal z dari pers 1 dan pers 2,) sehingga diperoleh
$\left\{\begin{matrix} 2x-y+z=6\\ x-3y+z=-2 \end{matrix}\right.$ _

             $x+2y=8$ ... pers 4
Eliminasi atau hilangkan salah satu peubah (misal z dari pers 1 dan pers 3,) sehingga diperoleh

$\left\{\begin{matrix} 2x-y+z=6\\ x+2y-z=3 \end{matrix}\right.$ +

          $3x+y=9$ ... pers 5
Langkah 3:
Eliminasi salah satu peubah SPLDV (misal y) sehingga diperoleh nilai salah satu peubah, dengan menyamakan koefisien variabel y (mencari KPKnya) sehingga
$x+2y=8|\times 1|\rightarrow x+2y=8$
$3x+y=9|\times 2|\rightarrow 6x+2y=18$ _

                                            $-5x=-10$

                                                 $x=\frac{-10}{-5}=2$
Langkah 4:
Eliminasi salah satu peubah SPLDV (misal x) sehingga diperoleh nilai salah satu peubah, dengan menyamakan koefisien variabel x (mencari KPKnya) sehingga
$x+2y=8|\times 3|\rightarrow 3x+6y=24$

$3x+y=9|\times 1|\rightarrow 3x+y=9$ _

                                              $5y=15$
                                                $y=\frac{15}{5}=3$
Langkah 5:
Substitusikan nilai variabel yang didapat (misal nilai variabel x dan y) ke salah satu persamaan linear tiga variabel sehingga didapat nilai variabel yang terakhir, sehingga

$x+2y-z=3\rightarrow 2+2.3-z=3$

$2+6-z=3\rightarrow 8-z=3$

$z=-3+8=5$
Jadi, HP dari SPLTV di atas adalah (x,y,z) = (2,3,5)

Pages

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

No comments:

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2