NILAI MUTLAK

Pada bab ini, kita akan mempelajari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak yang sederhana, yaitu persamaan dan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak bentuk linier satu variabel.

Konsep Nilai Mutlak dalam Kehidupan Sehari-hari

Konsep nilai mutlak dalam kehidupan sehari-hari yang sering kita temui ternyata banyak loh, berikut beberapa contohnya :

Contoh pertama

Kegiatan pramuka merupakan salah satu kegiatan ekstrakulikuler yang diadakan disekolah. Suatu pasukan pramuka sedang belajar baris berbaris dilapangan sekolah pada hari Jumat. Sebuah perintah dari pimpinan regu yaitu, "Maju 4 langkah, jalan !. Hal tersebut berarti jarak barisan adalah 4 langkah kedepan. Jika perintah pimpinan pasukan adalah "Mundur 3 langkah, jalan ! hal ini berarti bahwa pasukan akan bergerak kebelakang sejauh 3 langkah. Demikian seterusnya.

Besar pergerakan langkah pasukan tersebut merupakan nilai mutlak, tidak ditentukan arah. Contoh, " maju 4 langkah", berarti mutlak 4 langkah dari posisi diam dan "mundur 3 langkah", berarti mutlak 3 langkah dari posisi diam. Dalam hal ini, yang dilihat adalah nilainya, bukan arahnya.

Contoh kedua

Seorang anak bermain lompat lompatan dilapangan. Dari posisi diam, si anak melompat kedepan 2 langkah, kemudian 3 langkah ke belakang, dilanjutkan 2 langkah ke depan, kemudian 1 langkah belakang dan akhirnya 1 langkah lagi ke belakang. Secara matematis ilustrasi ini dapat dinyatakan sebagai berikut.

Kita definisikan lompatan kedepan adalah searah dengan sumbu x positif. Dengan demikian lompatan kebelakang adalah searah dengan sumbu x negatif.

Perhatikan skema berikut.

Dari gambar diatas, kita misalkan bahwa x = 0 adalah posisi diam si ana. Anak panah yang pertama diatas garis bilangan menunjukan langkah pertama si anak sejauh 2 langkah ke depan (mengarah ke sumbu x positif atau +2). Anak panah kedua menunjukan 3 langkah si anak ke belakang (mengarah ke sumbu x negatif atau -3) dari posisi akhir langkah pertama. Demikian seterusnya sampai akhirnya si anak berhenti pada langkah kelima.

Jadi kita dapat melihat pergerakan akhir si anak dari posisi awal adalah 1 langkah saja ke belakang ( x = -1 atau x = (+2) + (-3) + (+2) + (-1) + (-1) = (-1), tetapi banyak langkah yang dijalani si anak merupakan konsep nilai mutlak. Kita hanya menghitung banyak langkah, bukan arahnya, sehingga bnayka langkahnya adalah

Perhatikan tabel berikut.

Tabel 1.1 Nilai Mutlak

Berdasarkan kedua cerita dan tabel di atas, dapatkah kamu menarik kesimpulan tentang pengertian nilai mutlak? jika x adalah variabel pengganti sembarang bilangan real dapatkah kamu menentukan dari nilai x tersebut?

Perhatikan bahwa x anggota himpunan bilangan real ditulis $(x\epsilon \mathbb{R})$ . Berdasarkan tabel, kita melihat bahwa nilai mutlak dari x akan bernilai positif atau nol (non negatif). Secara geometris, nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Dengan demikian, tidak mungkin nilai mutlak suatu bilangan bernilai negatif, tetapi mungkin saja bernilai nol.

Ada beberapa contoh percobaan perpindahan posisi pada garis bilangan, yaitu sebagai berikut

Cara menentukan nilai mutlak suatu bilangan pada garis bilangan

Catatan :

1. Garis bilangan digunakan sebagai media untuk menunjukan nilai mutlak

2. Tanda panah digunakan untuk menentukan besar nilai mutlak, dimana arah ke kiri menandakan nilai mutlak dari bilangan negatif, dan begitu juga sebaliknya. Arah ke kanan menandakan nilai mutlak dari bilangan positif.

3. Besar nilai mutlak dilihat dari panjang tanda panah dan di hitung dari bilangan nol.

Penjelasan

Garis bilangan 1 : tanda panah bergerak ke arah kanan berawal dari bilangan 0 menuju bilangan 3, dan besar langkah yang dilalui tanda panah adalah 3. Hal ini berarti nilai $\left | 3 \right |= 3$ atau berjarak 3 satuan dari bilangan 0.

Garis bilangan 5 : tanda panah bergerak ke arah kiri berawal dari bilangan 0 menuju bilangan -3, dan besar langkah yang dilalui tanda panah adalah 3. Hal ini berarti bahwa nilai $\left | -3 \right |= 3$ atau berjarak 3 satuan dari bilangan 0.

Dari kedua penjelasan di atas, dapat dituliskan konsep nilai mutlak, sebagai berikut.

Definisi 1.1

Misalkan x bilangan real, dibaca nilai mutlak x, dan didefinisikan

$\left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x, jika x\geq 0\\ -x, jika x< 0 \end{matrix}\right.$

Definisi di atas dapat diungkapkan dengan kalimat sehari-hari seperti berikut ini. Nilai mutlak suatu bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak dari suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif itu. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa:

a) $\left | \frac{1}{2} \right |=\frac{1}{2}$ , karena $\frac{1}{2}> 0$ ( $\frac{1}{2}$ adalah bilangan positif)