TRANFORMASI GEOMETRI

Transformasi Geometri adalah proses pemindahan atau pembentukan hasil atau bayangan dari suatu titik atau kurva.

Jenis Jenis transformasi
1. Translasi
2. Dilatasi
3. Refleksi
4. Rotasi
5. Matriks/ transformasi bebas
Oke kita langsung saja terhadap materi yang pertama yaitu translasi

TRANSLASI (PERGESERAN)
Translasi terbagi menjadi 2, yakni translasi titik dan translasi garis
Translasi Titik
Jika titik A(x,y) ditranslasikan dengan $T=\binom{a}{b}$ , bayangan titik tersebut adalah titik A' yang dirumuskan sebagai berikut.

$A(x,y)\rightarrow T=\binom{a}{b}\rightarrow A'(x+a,y+b)$

Contoh
1. Diketahui $A\binom{3}{4}$ kemudian di Translasikan dengan $T\binom{5}{4}$ . Maka carilah hasil dari translasi titik tersebut !
Penyelesaian
$A + T =A^{'}$
$A\binom{3}{4}$ ditranslasikan $T\binom{5}{4}$ = $A^{'}\binom{3+5}{4+4}$

maka hasilnya menjadi $A^{'}\binom{8}{8}$
mudah sekali bukan ??

Translasi garis
1. Diketahui $g = 2x + y$ ditranslasikan dengan $T\binom{1}{2}$ . Maka carilah hasil dari transalasi garis tersebut !
Penyelesaian

$\binom{x^{'}}{y^{'}}= T + \binom{x}{y}$
$\binom{x^{'}}{y^{'}}= \binom{1}{2} + \binom{x}{y}$
$\binom{x^{'}}{y^{'}}= \binom{1+x}{2+y}$

$x^{'}= 1+x$ dan $y^{'}= 2+y$
$x^{'}-1= x$ $y^{'}-2= y$
maka setelah ini, tinggal menggnti nilai x dan y dengan persamaan diatas
$g = 2x + y$

$2(x^{'}-1)+(y^{'}-2)= 6$

$2x^{'}-2+y^{'}-2= 6$

$2x^{'}+y^{'}-4= 6$

$2x^{'}+y^{'}= 6+4$

$2x^{'}+y^{'}= 10$

DILATASI (PERKALIAN)
⏩ Pusat (0.0)

$B^{'} = K . B$

⏩ Pusat (a,b)
Contoh Soal
Dilatasi titik
1. Sebuah titik $C(2,3)$ didilatasikan dengan pusat (0,0) dengan skala 3. Bayangan titik C adalah ....
Penyelesaian
$C^{'} = K .C$

$C^{'} = 3 .(2,3)$

$C^{'} = (6,9)$

Dilatasi garis
2. Suatu garis g adalah $x + 2y = 4$ di dilatasikan dengan pusat (0,0) dengan skala 2. Bayangan garis g tersebut adalah ....
Penyelesaian
$g^{'}= k . g$

$\binom{x^{'}}{y^{'}}= 2 \binom{x}{y}$

$\binom{x^{'}}{y^{'}}= \binom{2x}{2y}$
di uraikan menjadi

$x^{'}= 2x$ dan $y^{'}= 2y$

$\frac{1x^{'}}{2}= x$ $\frac{1y^{'}}{2}= y$ (sebuah persamaan )

kalau sudah seperti ini, kita sudah mengetahui nilai x dan y nya maka kita tinggal mengganti nilai x dan y yang ada disoal $x + 2y = 4$ dengan x dan y yang menjadi persamaan

$x + 2y = 4$

$\frac{1x^{'}}{2}+ 2 (\frac{1y^{'}}{2})= 4$

$\frac{1x^{'}}{2}+ 1y^{'}= 4$
mudah bukan ??

$x^{'}-1= x$

REFLEKSI Refleksi (Pencerminan)
a. Pencerminan terhadap sumbu X
Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap sumbu X, maka bayangan titiknya dirumuskan sebagai berikut.

$A(x,y)\rightarrow sumbu X\rightarrow A'(x,-y)$

b. Pencerminan terhadap sumbu Y

Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap sumbu Y, maka bayangan titiknya dirumuskan sebagai berikut.

$A(x,y)\rightarrow sumbu Y\rightarrow A'(-x,y)$

c. Pencerminan terhadap garis x = h
Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis x = h, maka bayangan titiknya dirumuskan sebagai berikut.

$A(x,y)\rightarrow x=h\rightarrow A'(2h-x,y)$

d. Pencerminan terhadap garis y = k
Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = k, maka bayangan titiknya dirumuskan sebagai berikut.

$A(x,y)\rightarrow y=k\rightarrow A'(x, 2k-y)$

e. Pencerminan terhadap garis y = x
Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = x, maka bayangan titiknya dirumuskan sebagai berikut.

$A(x,y)\rightarrow y=x\rightarrow A'(y,x)$

f. Pencerminan terhadap garis y = -x
Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = -x, maka bayangan titiknya dirumuskan sebagai berikut.

$A(x,y)\rightarrow y=-x\rightarrow A'(-y,-x)$

ROTASI
Rotasi (Perputaran)
Bayangan titik A(x,y) yang dirotasikan terhadap titik pusat O(0,0) sejauh $\alpha$ berlawanan arah putaran jarum jam dapat ditulis ke dalam matriks sebagai berikut.

$A'=\binom{x'}{y'}=\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\binom{x}{y}$

Bayangan titik (x,y) yang dirotasikan terhadap titik pusat P(a,b) sejauh $\alpha$ berlawanan arah putaran jarum jam dapat ditulis ke dalam matriks sebagai berikut.

$A'=\binom{x'}{y'}=\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}\binom{x-a}{y-b}+\binom{a}{b}$

a. Perputaran terhadap titik pusat O(0,0) sejauh $90^0$ searah putaran jarum jam
Jika titik A(x,y) dirotasi terhadap titik pusat O(0,0) sajauh $90^0$ searah putaran jarum jam, maka bayangan titiknya dirumuskan sebagai berikut.

$A(x,y)\rightarrow \left [ 0,90 \right ]\rightarrow A'(y,-x)$

b. Perputaran terhadap titik pusat O(0,0) sejauh $90^0$ berlawanan arah putaran jarum jam
Jika titik A(x,y) dirotasi terhadap titik pusat O(0,0) sajauh $90^0$ berlawanan arah putaran jarum jam, maka bayangan titiknya dirumuskan sebagai berikut.

$A(x,y)\rightarrow \left [ 0,90 \right ]\rightarrow A'(-y,x)$

c. Perputaran terhadap titik pusat O(0,0) sejauh $180^0$ searah putaran jarum jam
Jika titik A(x,y) dirotasi terhadap titik pusat O(0,0) sajauh $180^0$ searah putaran jarum jam, maka bayangan titiknya dirumuskan sebagai berikut.

$[A(x,y)\rightarrow \left [ 0,-180 \right ]\rightarrow A'(-x,-y)]$

d. Perputaran terhadap titik pusat O(0,0) sejauh $180^0$ berlawanan arah putaran jarum jam
Jika titik A(x,y) dirotasi terhadap titik pusat O(0,0) sajauh $180^0$ berlawanan arah putaran jarum jam, maka bayangan titiknya dirumuskan sebagai berikut.

$[A(x,y)\rightarrow \left [ 0,180 \right ]\rightarrow A'(-x,-y)]$

Telaah Soal Tipe UN
1. Bayangan dari titik A(6, -5) sebagai hasil refleksi terhadap sumbu Y, kemudian dilanjutkan dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 2 adalah ....
A. A"(-12,-12)
B. A"(-12,-10)
C. A"(10,-12)
D. A"(10,12)
E. A"(12,10)
Jawaban B
Pembahasan
Bayangan titik A(6,-5) oleh refleksi terhadap sumbu Y $(x,y)\rightarrow sumbuY\rightarrow (-x,y)$

$A(6,-5)\rightarrow sumbuY\rightarrow (-6,-5)$
Bayangan titik A'(-6,-5) oleh dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor K=2

${\color{DarkBlue} [(x,y)\rightarrow \left [ O,k \right ]\rightarrow (kx,ky)] }$

$A(-6,-5)\rightarrow \left [ O,2 \right ]\rightarrow A$
A"(-12,-10)

2. Diketahui $\Delta ABC$ dengan koordinat titik A(-4,1), L(2,1) dan M(3,5). Koordinat bayangan jika segitiga didilatasi dengan faktor skala -3 dan berpusat di (1,-2) adalah ...
A. A'(16,-11), B'(-2,11) dan C'(5,-23)
B. A'(16,-11), B'(-2,11) dan C'(-5,-23)
C. A'(16,-11), B'(-2,-11) dan C'(-5,-23)
D. A'(15,-11), B'(2,11) dan C'(-5,-23)
E. A'(15,-11), B'(-2,-11) dan C'(5,-23)
Jawaban C
Pembahasan
Ingat Rumus

${\color{DarkBlue} [(x,y)\rightarrow \left [ P(a,b),k \right ]\rightarrow (k(x-a))+a), (k(y-b)+b)] }$
Penjabarannya

$A(-4,1)\rightarrow \left [ P(1,-2),-3 \right ]\rightarrow (-3(-4-1))+1), (-3(1-(-2))-2)$

$=A'(16,-11)$

$B(2,1)\rightarrow \left [ P(1,-2),-3 \right ]\rightarrow (-3(2-1))+1), (-3(1-(-2))-2)]$

$=B'(-2,-11)$

$C(3,5)\rightarrow \left [ P(1,-2),-3 \right ]\rightarrow (-3(3-1))+1), (-3(5-(-2))-2)$
$=C'(-5,-23)$
3. Bayangan titik A(6,-3) oleh translasi $T=\binom{4}{-1}$ , kemudian dilanjutkan rotasi sejauh $90^0$ searah jarum jam dengan pusat O(0,0) adalah ....
A. A"(-2,-4)
B. A"(-4,-10)
C. A"(-4,10)
D. A"(-10, 4)
E. A"(10,-4)
Jawaban B
Pembahasan:
Bayangan titik A(6,-3) oleh translasi $T=\binom{4}{-1}$

${\color{DarkBlue} (x,y)\rightarrow T=\binom{a}{b}\rightarrow (x+a,y+b)}$
$A(6,-3)\rightarrow T=\binom{4}{-1}\rightarrow A'(6+4,-3+(-1))$
$=A'(10,-4)$
Bayangan A'(10,-4) olrh rotasi sejauh $90^0$ searah jarum jam dengan pusat O(0,0).

${\color{DarkBlue} A(x,y)\rightarrow \left [ 0,90 \right ]\rightarrow A'(y,-x)}$

$A'(10,-4)\rightarrow \left [ 0,-90 \right ]\rightarrow A$ "(-4,-10)

4. Bayangan titik B(4,-3) yang didilatasi terhadap pusat O(0,0) dan faktor skala 4, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = 2 adalah ...
A. B"(-8,-16)
B. B"(-8,16)
C. B"(8,16)
D. B"(16,-8)
E. B"(16,8)
Jawaban E
Pembahasan
Bayangan titik B(4,-3) oleh didilatasi terhadap pusat O(0,0) dan faktor skala 4

${\color{DarkBlue} [(x,y)\rightarrow \left [ O,k \right ]\rightarrow (kx,ky)] }$

$B(4,-3)\rightarrow \left [ O,4 \right ]\rightarrow '$ B'(4(4), 4(-3))
=B'(16, -12)
Bayangan B'(16,-12) oleh pencerminan terhadap garis y = -2

${\color{DarkBlue} (x,y)\rightarrow y=k\rightarrow (x, 2k-y)}$

"(16 ,2(-2)-(-2))
= B"(16,8)

Semoga Bermanfaat

Pages

TRANFORMASI GEOMETRI

No comments:

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2