TURUNAN

Hai sobat semua, selamat datang kembali di blog ini dan selamat belajar. Pada kesempatan kali ini penulis akan sedikit memaparkan penjelasan mengenai materi turunan.

Setelah kamu memahami konsep limit fungsi pada materi sebelumnya, kalian akan mempelajari konsep turunan . Ingat konsep limit fungsi digunakan juga pada materi ini.

Baca juga : Materi Mengenai Konsep Limit Fungsi

Oke langsung saja kita simak materi di bawah ini.

Menentukan Konsep Turunan Fungsi

Turunan merupakan salah satu dasar atau fondasi dalam menganalisis dan sangat aplikatif untuk membantu memecahkan suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Untuk itu, kalian diharapkan mampu memahami berbagai konsep dan prinsip turunan fungsi , kemonotonan ,kecekungan, pengoptimalan, titik belok, dan lain sebgainya dapat dianalisis dengan menggunakan konsep turunan. Untuk menemukan konsep turunan, kita akan mencoba mengamati berbagai permasalahan nyata dan mempelajari beberapa kasus dan contohnya. Kita memulainya dengan menemukan konsep garis tangen atau garis singgung.

Menentukan Konsep Garis Sekan dan Garis Tangen

Coba kalian amati dan cermati berbagai masalah nyata yang diajukan, bermanfaat sebagai sumber abstraksi kita dalam menemukan konsep dan hubungan antara garis sekan atau tali busur dan garis singgung

Contoh

Seorang pemain sky meluncur kencang dipermukaan bukit es. Dia meluncur turun, kemudian naik mengikuti lekukan permukaan es sehingga disuatu saat, dia melayang ke udara dan turun kembali kepermukaan.

Permasalahan

Secara analitik, misalkan bahwa bukit es diasumsikan sebagai kurva, pemain sky diasumsikan sebagai garis yang tegak lurus ke papan sky serta, papan sky adalah sebuah garis lurus lainnya. Dapatkah kamu tunjukan hubungan ke dua garis tersebut ?

Alternatif Penyelesaian

Coba kamu amati gambar di bawah ini. Misalkan permasalahan di atas ditampilkan dalam bentuk gambar berikut.

Posisi tegak pemain terhadap papan ski adalah sebuah garis normal. Papan ski yang menyinggung bukit es saat melayang ke udara adalah sebuah garis yang menyinggung kurva yang disebut garis singgung. Jadi, garis singgung tegak lurus dengan garis normal.

Lalu, bagaimana hubungan garis singgung dengan kurva?

Misalkan, pemain ski bergerak dari titik Q $(x_{2},y_{2})$ , dan melayang ke udara pada titik P $(x_{1},y_{1})$ sehingga ia bergerak dari titik Q mendekati titik P. Semua garis yang menghubungkan titik Q dan P disebut tali busur.

Ingat kembali konsep garis lurus

gradien $m_{sec}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

Coba kamu amati proses matematis berikut. Misalkan $x_{2}=x_{1}+\Delta x$ dan $y_{2}=y_{1}+\Delta y$ , jika $\Delta x$ semakin kecil maka Q akan bergerak mendekati P (jika $\Delta x\rightarrow 0$ maka $Q\rightarrow P$ )

Perhatikan gambar berikut.

Jika $y=f(x)$ maka gradien garis sekan PQ adalah:
$m_{PQ}=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}=\frac{f(x_1+\Delta x)-f(x_1)}{x_1+\Delta x-x_1}$

Rumus dasar turunan

Rumus Umum
$(x^{}n)^{{}'}=nx^{n-1}$
$(u^{}n)^{{}'}=nu^{n-1}u^{{}'}$
$(u+v){}'= {u}'+{v}'$
$(u-v){}'= {u}'-{v}'$
$(uv)'= {u}'v+u{v}'$

$\left ( \frac{u}{v} \right ){}'=\frac{{u}'v-u{v}'}{v^{2}}$

Contoh Soal dan Pembahasan
1. Turunan dari y = 3 adalah ...
Jawab
y = 3 maka ${y}'=0$
Karena tidak ada variabelnya maka ketika diturunkan nilai konstanta tersebut jadi 0

2. Turunan dari y = 3x adalah ....
Jawab
y = 3x maka ${y}'=3$
Karena variabelnya berpangkat satu, maka ketika diturunkan menjadi hilang variabelnya

3. Turunan dari $y= 2x^{4}+3x^{-3}-4x^{}2+5x^{-1}+6$ adalah ...
Jawab
$y= 2x^{4}+3x^{-3}-4x^{}2+5x^{-1}+6$
maka
$y{}' = 4. 2x^{4-1}+(-3)3x^{-3-1}-2.4x^{2-1}+(-1)5x^{-1-1}$
$y{}' = 8x^{3}-9x^{-4}-8x^{1}-5x^{-2}$

4. Turunan dari $y= (2x^{3}+3x^{2}+4x)+(3x^{2}+6x)$
maka

5. Tentukan turunan dari fungsi berikut $f(x)=3(4x^{2}+2x)$
Jawab
$f(x)=3(4x^{2}+2x)$
Sederhanakan dulu bnetuknya dengan cara dikalikan
$f(x)=12x^{2}+6x$
Baru setelah bentuknya sederhana, maka langsung diturunkan
   $f(x){}'=2.12x^{2-1}+6$
   $f(x){}'=24x+6$

6. Turunan dari fungsi berikut $f(x)=(2x+3)(3x+2)$ adalah ...
Jawab
Disederhanakan terlebih dahulu bentuknya dengan cara dikalikan
$f(x)=6x^{2}+4x+9x+6$
Jumlahkan suku yang sejenis
$f(x)=6x^{2}+13x+6$
Setelah bentuknya sederhana, barulah diturunkan fungsi tersebut
$f(x){}'=2.6x^{2-1}+13$
$f(x){}'=12x+13$

7. Turunan dari fungsi berikut $f(x)= (2x-3)^{4}$ adalah ...
Jawab
$f(x)= (2x-3)^{4}$
misal
$u = 2x -3$ dan $f(x)=u^{4}$

Gunakan Rumus ini $(u^{}n)^{{}'}=nu^{n-1}u^{{}'}$

$f{}'(x)=4(2x-3)^{4-1}.3$
$f{}'(x)=12(2x-3)^{3}$

8. Turunan dari fungsi $y =\frac{x^{2}}{2x+5}$ adalah ...
Jawab
$y =\frac{x^{2}}{2x+5}$
misal

$u =x^{2}$ maka $u{}' =2x$
$v= 2x+5$ maka $v{}' =2$
Gunakan Rumus ini
$y{}'=\frac{{u}'v - u{v}'}{v^{2}}$
Subtitusikan angka angkanya kedalam rumus
$y{}'=\frac{2x(2x+5) - x^{2}.{2}}{(2x+5)^{2}}$
$y{}'=\frac{4x^{2}+10x - 2x^{2}}{(2x+5)^{2}}$
$y{}'=\frac{2x^{2}+10x }{(2x+5)^{2}}$

9. Turunan dari fungsi   $f(x)=\sqrt{4x^{2}+9}$ adalah ...
Jawab
Ingat ketika kita akan menyelesaikan soal turunan jangan sampe ada bentuk akar
$f(x)=({4x^{2}+9})^{\frac{1}{2}}$
Gunakan Rumus ini $(u^{}n)^{{}'}=nu^{n-1}u^{{}'}$
$f{}'(x)=\frac{1}{2}({4x^{2}+9})^{\frac{1}{2}-1}. 8x$
$f{}'(x)=4x({4x^{2}+9})^{\frac{-1}{2}}$
${f}'(x)=\frac{4x}{\sqrt{4x^{2}+9}}$

Penerapan Konsep Turunan
Permasalahan

1. Seorang anak menembak seekor burung yang bertengger disebuah pohon dengan ketapel ketinggian pohon $h=f(t)$ (dalam meter) pada t sekon dimodelkan dengan $f(t)= 8t^{2}+250t+5$ . Tentukan kecepatan luncur ketapel tersebut pada saat $t=5$ sekon

Pembahasan
Diketahui ketinggian pohon saat t sekon adalah
$f(t)= 8t^{2}+250t+5$
Kecepatan luncur peluru ketapel diperoleh turunan pertama dari fungsi ketinggian (posisi) peluru ketapel sebagai berikut :
${f}'(t) = 16t +250$
kemudian setelah itu karena kita ingin mendapatkan kecepatan peluru pada saat $t=5$ , maka langsung saja disubtitusikan $t=5$
${f}'(t) = 16t +250$
${f}'(5) = 16(5) +250 = 80 +250 = 330$
Kesimpulannya kecepatan peluru ketapel pada saat $t=5$ adalah 330 m/s

Sekian Pembahasan materi ini, SEMOGA BERMANFAAT, Salam Sukses

Pages

TURUNAN

No comments:

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2